데이터 리터러시 - 성공 확률이 0.5 vs 100번 시도해서 50번 성공??

(어려움, 헷갈림 주의!!!!!!!)

 

성공확률이 0.5이면 이 확률 값이 100번 시도해서 50번 성공할 확률과 같다고 할 수 있을까?

 

이 둘은 엄연히 다르다.

 

 

(1) 성공확률이 0.5

 

 

성공 확률이 0.5라는 것은, 한 번 시도했을 때 성공할 확률이 0.5라는 것을 의미한다.

이것은 단일 시행에서의 성공 가능성을 나타내며, 이항분포에서 특정 성공 횟수를 가지는 확률과는 다르다.

 

 

 

 

(2) 100번 시도해서 50번 성공

 

100번 시도해서 정확히 50번 성공할 확률은 이항분포를 따르며, 이는 성공 확률 p에 따라 달라진다.

 

예를 들어 X ~ Bin(100, 0.5) 일 때, P(X = 50) =0.08...이다.

 

다만, 이때의 기대값은 50번이 맞다. 

 

즉, 성공 확률이 0.5일 때 100번 던지면 성공할 횟수로 가장 기대되는 값이 50번이라는 말이다.

 

(그렇다고 100번 던질 때 성공할 확률이 0.5 인건 아니다.)

 

 

 

(3) 그렇다면 동전을 많이 던질 수록 그 결과가 확률에 가까워진다는 말은 무엇인가?

 

동전을 많이 던질수록 그 결과가 성공 확률 0.5에 다가간다는 말인 대수의 법칙은 

 

시도를 많이 하다보면 그 결과인 비율(앞면이 나온 횟수 / 시도 횟수)이 확률에 근접한다는 말이다.

 

즉, 시도 횟수 n이 커질수록 성공 비율 X/n이 성공 확률 p=0.5에 가까워짐을 의미한다.

 

 

정리해보면, 이항분포는 성공확률이 이미 정해졌을 때의 이야기이고,

 

대수의 법칙은 성공확률 자체에 대한 이야기이다.

 

 

 

(4) 이항분포에서 시행 횟수가 증가할 때

 

시행 횟수 n이 계속 커지면, n번 시도했을 때

 

0.5 * n 번 성공할 확률 (x ~ Bin(n, 0.5), P(X = 0.5n)) 은

 

계속 작아진다.

 

왜냐하면 시도가 많아질 수록 X가 다른 값을 가지는 경우가 많아지고

 

이항 분포 자체가 점점 평탄해지기 때문이다.

 

그러나 성공 비율 X/n 자체는 대수의 법칙에 따라 p에 수렴한다.

 

그렇다고  P(X = x/n) = p는 아니다.

 

X~Bin(n, 0.5)에 대한 분포의 시뮬레이션 그래프. X축은 (성공 총 횟수 X / 총 시도 횟수). 편의를 위해 연속 분포처럼 표현

 

 

 

 

 

3줄 요약

 

(1) 한 번 시도했을 때의 성공 확률은 이항분포에서 특정 성공 횟수를 가질 확률과는 다른 개념이다.

(2) 대수의 법칙의 결과가 성공확률이라고 할 수 있다.(비율 -> 확률)

(3) 그러나 이항분포에 대한 확률은 성공 확률이 정해진 다음의 이야기이다.